Analysis of Some Convolutional Coding Constructions

Sammanfattning: Popular Abstract in Swedish I vårt vardagliga liv träffar vi på en mängd apparater som använder sig av överföring och lagring av information. Ett par exempel på sådana är CD-spelare, mobiltelefoner och datorer. I de flesta av alla dessa apparater lagras eller överförs informationen på digital form, det vill säga man använder sig av ett ändligt antal symboler för att representera informationen. Ett exempel på information i digital form är en skriven text där symbolerna består av bokstäver, skiljetecken och mellanslag. Ett annat exempel är när man representerar information med enbart symbolerna 0 och 1, vilket ofta används i ovan nämnda apparater. Vid överföring och lagring av sådana, så kallade binära, sekvenser kan det uppstå fel, så att en symbol som skulle varit en nolla ser ut som en etta, och vice versa, när man ska tolka den överförda eller lagrade sekvensen. Detta kan avhjälpas till en viss gräns med hjälp av kodning. Kodning innebär att man på strategiska ställen i sin binära sekvens lägger till extra ettor och nollor, så kallad redundans, på ett smart sätt. Blir det sen några fel i överföringen/lagringen så kan man ta reda på var felen är och rätta till dem med hjälp av redundansen. Blir det däremot väldigt många fel klarar inte kodningen av att rätta till det. Det finns många olika sätt att analysera prestandan hos ett kodat system. Man kan till exempel studera antalet felaktiga symboler, den så kallade felsannolikheten, under olika förutsättningar. Ett vanligt sätt att genomföra detta på är att utföra datorsimuleringar av systemet. En nackdel med simuleringar i sådana här tillämpningar är att då koden och avkodningen fungerar mycket bra, det vill säga när man har väldigt få fel efter avkodningen (låg felsannolikhet), måste man simulera väldigt långa informationssekvenser för att få ett tillförlitligt resultat. Därför är det önskvärt att ha teoretiska formler som förutsäger hur bra resultat vi kommer att få efter avkodningen. Helst vill man ha en exakt formel för felsannolikheten, men det är ofta omöjligt att uppnå. I sådana situationer använder man sig av gränser för felsannolikheten. Främst övre gränser (den verkliga felsannolikheten är bättre än gränsen) men även undre gränser är av intresse. En annan intressant prestandaparameter är kapaciteten hos ett kodat system. Man vet att om, och endast om, datahastigheten är lägre än kapaciteten, kan man med hjälp av kodning teoretiskt rätta hur många fel som helst. I denna avhandlingen studeras analysmetoder av några olika system som använder sig av en familj av koder som kallas faltningskoder.