Conservation Laws, Numerical Schemes and Control Strategies for Sedimentation and Wastewater Treatment

Sammanfattning: Popular Abstract in Swedish En burk målarfärg som har lämnats bortglömd, en senapsflaska som länge har stått upprätt i ett kylskåp eller ett nyinköpt filmjölkspaket som precis ska öppnas. Det finns många vardagliga situationer där vi stöter på separation av fasta partiklar från vätskan i så kallade suspensioner. Separationsprocessen kallas sedimentering och är den tillämpning som genomgående motiverar den matematiska teorin i denna avhandling. Speciell uppmärksamhet ges kontinuerlig sedimentering vid mineralutvinning och avloppsvattenrening, där forskning och utveckling behövs för såväl resurs- och energieffektiviseringar som av ekonomiska skäl. Genom att abstrahera verkligheten i olika grad konstrueras modeller bestående av en eller flera ekvationer härledda ur fysikaliska lagar. Dessa ekvationer kan sedan analyseras eller lösas för att bättre förstå, styra eller simulera processen. Många av de modellekvationer som dyker upp i detta arbete är dock så komplicerade att deras lösningar inte kan anges som slutna uttryck med explicita formler. Istället används särskilda numeriska scheman för att beräkna uppskattningar, approximationer, till lösningarna med datorkraft. Det dyker naturligt upp tre frågor: existerar det med säkerhet en lösning till ekvationerna? Är denna i så fall entydigt bestämd? Är den numeriska approximationen tillförlitlig som uppskattning av den entydiga lösningen? Huvudsyftet med avhandlingen är att utveckla och undersöka numeriska scheman och försöka svara på ovanstående frågeställningar (helt eller delvis) för några modeller och på så sätt möjliggöra tillförlitliga simuleringar och effektivare operation av sedimenterings- och vattenreningsprocesser. Det visar sig att en typ av ekvationssystem som analyseras används även för andra tillämpningar såsom trafikflöden, varför de metoder som presenteras här kan vara intressanta ur ett vidare perspektiv. Avhandlingen kan i grova drag delas in i tre delar, där det i varje del fokuseras på en viss typ av modell. I den första delen behandlas en välkänd sedimenteringsmodell som bland annat förutsätter att alla partiklar i suspensionen har samma sjunkegenskaper. Modellen utgörs väsentligen av en ekvation för vilken existens och entydighet av lösningen sedan länge är klargjord. Som en brygga mellan matematisk teori och praktisk tillämpning, föreslås här en numerisk metod nära besläktad med både en rigoröst bevisat tillförlitlig metod och den i vattenreningssammanhang vanligaste simuleringsmetoden. Den nya metoden finns numera implementerad i ansedda benchmarkmodeller för vattenreningsverk och i den kommersiella programvaran WEST. Den andra delen har också en enskild sedimenteringsmodell som huvudtema, men här tillåts de suspenderade partiklarna ha olika sjunkegenskaper. Vid industriell sedimentering är det nämligen vanligt att dessa egenskaper manipuleras med kemiska tillsatser och för att ge en matematisk beskrivning måste modellen i den första delen utvidgas. Resultatet blir ett system av två ekvationer. Baserat på kunskap om detta system föreslås reglerstrategier för sedimenteringsprocessen med sjunkegeneskaperna i inkommande suspension som en möjlig styrvariabel. Som ett led i att ta fram numeriska scheman för den utvidgade modellen, analyseras ett mycket viktigt delsystem. Detta görs från en generaliserad synvinkel och som ett speciallfall fångas den välkända Aw-Rascle-Zhang modellen för trafikflöden. Bland annat bevisas att approximationerna från ett föreslaget numerisk schema faktiskt närmar sig en lösning till det generella systemet då antalet datoroperationer tillåts bli oändligt stort (detta får ses som ett rent teoretiskt grepp). Med det beviset fastställs även existensen av en lösning, men entydighetsproblematiken kvarstår att utreda. I den tredje och sista delen beaktas två modeller av ett enkelt avloppsreningsverk där en sedimenteringstank är kopplad i efterföljande led till en biologisk reaktor. Existens och entydighet av stationära lösningar visas och med den enklare av modellerna föreslås styrstrategier för hela verket.