Dynamics of Smooth Hyperbolic Systems with Singularities

Sammanfattning: Popular Abstract in Swedish Föreliggande avhandling behandlar dynamiken hos styckvist hyperboliska system på begränsade mänder i planet och på intervallet. Avhandlingen är baserad på tre artiklar och därutöver annat stoff. I de två första artiklarna undersöks två olika klasser av styckvisa affina och hyperboliska avbildningar på begränsade mängder i planet. För båda dessa klasser gäller att tangentrummet kan uppdelas i en kontraherande och en expanderande del och riktningarna för dessa delar är desamma för varje punkt i mängden. Det förs i bevis att för nästan varje parameter så existerar det ett absolutkontinuerligt invariant mått för dessa avbildningar under förutsättningen att de expanderar area tillräckligt mycket. Vidare visas att ifrågavarande avbildningar har exponentiellt avtagande korrelationer för Hölderkontinuerliga funktioner. Avhandlingen innehåller också resultat rörande den topologiska entropin för dylika avbildningar. Den tredje artikeln, som är författad tillsammans med Jörg Schmeling, behandlar dyadisk Diophantisk approximation; approximation av reella medelst rationella tal med nämnare som är en potens av 2. Dimensionen av olika mängder, där approximationen har en given hastighet, beräknas. Motsvarande gör också för approximationer av beta-skift med beta-skift av ändlig typ. Avhandlingen innehåller också resultat för en klass av styckvist expanderande avbildningar på intervallet, erhållna genom en projektion av avbildningar från de två första artiklarna. Dessa avbildningar uppvisar likheter med beta-utvecklingen. Skiftrummet till dessa avbildningar klassifieras i termer av egenskaper hos banan av den kritiska punkten och några samband mellan de talteoretiska egenskaperna hos derivatan och de periodiska banornas struktur visas.