Time-Dependent Many-Body Perturbation Theory: Possibilities and Limitations

Sammanfattning: Popular Abstract in Swedish Ett av de mest subtila begrepp i fysik är ``{\bf växelverkan}". I en alldaglig mening betyder växelverkan att skilda entiteter (som elektroner, människor eller galaxer) påverkar\footnote {I fysiken motsvaras denna påverkan av en kraft.} varandra. När dessa entiteter växelverkar kan de skapa ``emergenta" system med nya, kollektiva egenskaper långt utöver de individuella delarna. Under dessa omständigheter är ``helheten mycket mer än summan av sina delar" som Aristoteles en gång framställde det. Ta för enkelhetens skull en potatis. Denna fantastiska rotfrukt är byggd av en mängd växelverkande celler, men är oerhört mycket mer komplex än blott en grupp celler. På liknande vis är dessa celler byggda av molekyler som i sin tur består av atomer och så vidare... Det är lätt att föreställa sig att beskrivningen av varje steg av denna ökande komplexitet kräver stora ansträngningar som till exempel införandet av nya begrepp och metodologier. Beskrivningen av växelverkande system brukar benämnas som ``mångkropparproblemet". Den vardagliga världen som omger oss -- som vi kan se, röra, lukta och smaka direkt med våra sinnen -- beskrivs väl av den klassiska fysiken.\footnote{Detta är, uppenbarligen, egentligen inte sant eftersom alla makroskopiska system består ytterst av partiklar som lyder kvantmekanikens lagar och faktiskt kan inte sättet vår näsa uppfattar olika molekyler som olika lukter, beskrivas av klassik fysik.} Men när vi försöker studera mycket små saker, som atomer eller nanometer-stora strukturer, då misslyckas den klassiska fysiken, inte bara kvantitativt utan även kvalitativt. Vi måste använda ``{\bf kvantmekaniken}". Det är verkligen slående att de grundläggande axiomen, på vilka alla våra fysiska teorier är baserade, inte bara är annorlunda utan även motsäger varandra när vi jämför klassisk fysik med kvantmekaniken. Klassik fysik säger att den fysiska verkligheten existerar oberoende av observatören medan kvantmekaniken menar att det finns en ofrånkomlig påverkan av observatören på den fysiska verkligheten. Där klassisk fysik säger oss att en kvantitet har ett givet väldefinierat värde säger kvantmekaniken nej: den har endast en sannolikhet att anta ett visst värde. I klassisk fysik har partiklarna bestämda positioner och hastigheter i rummet men kvantmekaniken förbjuder detta -- en partikel måste beskrivas av en utbredd vågfunktion. När klassik fysik säger att en kvantitet, som till exempel energin, kan ha vilket värde som helst inom ett givet intervall säger kvantmekaniken nej: bara vissa diskreta (kvantiserade) värden är tillåtna. Att klassisk fysik och kvantmekaniken ger motsägande svar på några grundläggande frågor betyder inte att de är oförenliga. I gränsen för stora system ger kvantmekaniken samma förutsägelser som klassisk fysik. Ett annat mycket viktigt begrepp inom fysiken är ``{\bf icke jämvikt}". Att vara utom jämvikt betyder att något förändras i tiden. Vinden som blåser, strömmen som flödar och glaset som faller är alla exempel på dynamik utom jämvikt. Livets innersta väsen är ohjälpligt bundet till icke jämvikt; att kunna använda saker och ting utom jämvikt är faktiskt en grundläggande egenskap hos levande organismer. Jämvikt är själva motsatsen: Allt förblir oförändrat, ingenting händer.\footnote{De mikroskopiska delarna som utgör system kan fluktuera i tiden men det makroskopiska systemet ändras inte i snitt.} När ett system hamnar utanför jämvikt, som till exempel när en kall sked sätts ner i en kopp hett te, är den naturliga utvecklingen att systemet återgår till jämvikt. Om vi bara lämnar en potatis åt sig själv så kommer den slutgiltigen brytas ner och förvandlas till en intetsägande klump. För att ett system skall drivas ut från jämvikt måste det finnas något som ändras (en gradient) i rummet. I fallet med skeden har teet en högre temperatur än skeden och därför kommer det flöda in värme in i skeden tills skeden får samma temperatur som teet. Faktum är att hela universum kanske sakta går mot en jämvikt som till slut leder till det som kallas för den termiska döden, alltså när allt som kan falla har fallit, när alla kemiska reaktioner har ägt rum och allt är lagom, då kan ingenting någonsin hända... Problemet vi behandlar i den här avhandlingen innefattar alla tre beskrivna aspekter, nämligen växelverkan, kvantmekanik och icke jämvikt. Vi behandlar detta problem med en approximativ\footnote{En approximativ metod betyder att den är approximativ till sin natur, det vill säga att även om man hade en dator med oändlig kapacitet skulle man endast få approximativa resultat.} metodologi som kallas mångpartikelteori och som används mycket i vitt skilda fält i fysiken. Det centrala objektet inom mångpartikelteori är Greensfunktionen som ger sannolikheten för att en partikel som lagts till (eller dragits bort) i systemet vid en given position och vid en viss tid, kommer till en annan position vid en annan tid. Med den informationen kan man få fram viktig kunskap om systemets egenskaper som till exempel dess täthet, strömmar och energi. I mångpartikelteorin approximerar man Greensfunktionen på ett sätt som garanterar att vissa grundläggande fysikaliska lagar uppfylls, som till exempel bevarandet av energi och materia. Att beskriva ett växelverkande kvantmekaniskt system utanför jämvikt är mycket svårt. Istället för att försöka beskriva ett riktigt fysikaliskt system (vilket idag inte är tekniskt möjligt, men som i själva verket är det slutgiltiga målet för denna typ av forskning) ersätter vi det därför med ett modellsystem. En modell är en förenklad version av verkligheten,\footnote {Lägg märke till att vi alltid diskuterar den fysiska verkligheten och att vi inte ens vågar röra vid någon metafysisk verklighet...} där man helt enkelt bortser från en mängd komplicerade och förhoppningsvis oviktiga detaljer och lämnar endast kvar det som man tro sig kunna lösa samtidigt som man hoppas att modellen skall efterlikna det riktiga systemet.\footnote{Denna beskrivning är lite väl överdriven eftersom modellsystem i många fall har reproducerat riktiga fysikaliska system inte bara kvalitativt utan även kvantitativt.} Förutom att faktiskt vara tekniskt hanterbara och ha viss motsvarighet till verkligheten kan modellsystem i vissa fall ha exakta lösningar. Detta är självfallet fantastiskt. Exakta lösningar är ovärderliga källor för att få grundläggande kunskap om approximationers, till exempel mångpartikelteorins, tillförlitlighet. Målet för denna avhandling är att utforska hur bra mångpartikelteorin fungerar för att beskriva tidsberoende fenomen. Detta görs genom att studera enkla modellsystem, där man också har tillgång till exakta resultat. Mångpartikelteorin som den används här optimerar vissa egenskaper, i synnerhet uppfylls vissa grundläggande konserveringslagar. Ett huvudresultat av avhandlingen är att mångpartikelteorin kan i vissa fall ge en bra beskrivning av dynamiken. I andra fall kan metoden emellertid ge ofysikaliska resultat för andra egenskaper. Förbättrad förståelse av dessa ofysikaliska resultat är avgörande eftersom de begränsar användbarheten av den tidsberoende mångpartikelteorin. Förhoppningsvis kan resultaten presenterade här ge uppslag till framtida arbeten med syfte att överbrygga dessa svårigheter.