Geometric Methods for some Nonlinear Wave Equations

Sammanfattning: Popular Abstract in Swedish Ett antal resultat med anknytning till den geometriska tolkningen av dispersiva ickelinjära vågekvationer presenteras. Det beskrivs först hur några välkända ekvationer för grunt vatten uppkommer geometriskt som Euler ekvationer för det geodetiska flödet på Virasorogruppen försedd med särskilda högerinvarianta metriker. För en av dessa ekvationer?Camassa-Holm ekvationen?demonstreras hur geometriska metoder kan användas för att konstruera det oändliga antalet konserveringslagar och för att bevisa stabilitet för rumsligt periodiska lösningar under små perturbationer av initialdatan. Andra halvan av avhandlingen behandlar det geometriska synsättet för Hunter-Saxton ekvationen?en modell för framskridandet av orienteringsvågor i vätskekristaller. Vi visar att ekvationen kan ses som Eulers ekvation för det geodetiska flödet på en oändligtdimensionell sfär, så att dess lösningar svarar mot de stora cirklarna på sfären. Med hjälp av det här geometriska tillvägagångssättet kan flera resultat erhållas. Värt att notera är att genom att konstruera en svag utvidgning av det geodetiska flödet, så kan vi visa hur lösningar till den periodiska Hunter-Saxton ekvationen kan förlängas till efter det att vågen bryter.