Approximation Algorithms for Geometric Networks

Sammanfattning: Popular Abstract in Swedish Det huvudsakliga bidraget i denna avhandling är approximationsalgoritmer för flera problem inom beräkningsgeometri. Den underliggande strukturen för de flesta problemen är ett geometriskt nätverk. Ett geometriskt nätverk är, i sin mest abstrakta form, en mängd noder parvis kopplade med en kant, sådan att vikten på denna kant är lika med det Euklidiska (geometriska) avståndet mellan noderna. Ett sådant nätverk kan användas för att representera en mängd geometriska strukturer, såsom exempelvis en mängd städer sammankopplade via vägar. Först betraktar vi fallet att ett specifikt nätverk är givet, där tre separata problem studeras. I första problemet antar vi att nätverket består av öar av välkopplade nätverk, och att de olika öarna är sammankopplande via ett fåtal kanter. Nätverket förbehandlas sedan så att kortaste vägar effektivt kan beräknas. I andra problemet så är det underliggande nätverket en triangulering, det vill säga en uppdelning av planet eller av ett objekts yta i trianglar. Vi visar hur en triangulering effektivt kan förenklas i ett flertal steg genom att använda modifierade kantkontraheringar. Till sist betraktar vi ett flertal individuella rörelsebanor. Dessa kan exempelvis representera rörelsemönster hos vilda djur. För dessa beräknar vi ledarindivider. Vi betraktar sedan fallet att en mängd noder är givna, och där målet är att faktiskt skapa ett nätverk. Två sådana problem studeras. I det första problemet betraktar vi så kallade minimalt uppspännande träd, vilket är ett nätverk av minimal längd som kopplar samman alla betraktade noder. Vi beräknar en indelning av noderna i ett flertal delmängder där, om vi betraktar ett minimalt uppspännande träd för varje delmängd, målet är att minimera det största minimalt uppspännande trädet. I det andra problemet betraktar vi så kallade t-spanners, vilket är ett nätverk som tillåter vägar mellan varje par av noder med längd högst t gånger deras Euklidiska avstånd. Vi konstruera en t-spanner med låg total vikt, snabbt och enkelt, genom att först utöka det så kallade gapteoremet. Utöver ovanstående nätverksproblem så studerar vi också ett problem där målet är att placera en mängd rektanglar av varierande storlek så att deras omgivande rektangel har minimal area, och så att ett gitter kan placeras över rektanglarna. Gittret ska då kunna placeras så att det inte skär någon av rektanglarna, och så att varje cell i gittret innehåller högst en rektangel. Alla studerade problem är sådana att de inte enkelt tillåter beräkning av optimala lösningar i rimlig tid. Istället betraktar vi approximeringsalgoritmer, där nära-optimala lösningar produceras relativt snabbt, i så kallad polynomisk tid.