"Vad skulle x kunna vara?" andragradsekvation och andragradsfunktion som objekt för lärande

Sammanfattning: Ekvationer och funktioner har en viktig roll i olika matematiska moment, som exempelvis algebra, trigonometri, programmering och analys. Under gymnasiets matematikkurs B förväntas det att eleverna ska lära sig lösa andragradsekvationer och vad som kännetecknar en funktion samt att de ska kunna tolka och använda en andragradsfunktion. Trots det ökade intresset för medborgare med djupare matematiska kunskaper redovisas ständigt larmrapporter från landets tekniska högskolor och universitet om allt sämre matematikkunskaper hos de nyantagna studenterna. För att förstå elevernas problem med och i matematik behövs ökad kunskap om elevernas lärande i relation till vad det är i innehållet som behandlas i klassrummet. Syftet med denna studie är att analysera, söka förstå och förklara relationen mellan vad som framställs i matematiskt innehåll rörande andragradsekvationer och andragradsfunktioner i klassrumspraktiken och elevernas lärande av detsamma. Fokus ligger på relationen mellan det framställda och det lärda innehållet och inte på att analysera lärarnas uppfattningar eller deras kunskap i ämnet. Denna begränsning innebär att det är innehållet som är det centrala i min studie och som kommer att analyseras ur olika perspektiv. 45 elever och två lärare deltog i undersökningen. Data består av videoinspelade lektioner, lärarnas individuella genomgång, sekvenser när lärarna tillsammans med mig tittade på och diskuterade den individuella genomgången samt intervjuer med eleverna. Elevernas prov utgör en viktig del i samlandet av data. Det variationsteoretiska perspektivet ger mig teoretiska begrepp som fungerar som analysverktyg för att tolka det empiriska materialet i min studie. Tillämpningen av variationsteori har gjort det möjligt att analysera lärandet ur två perspektiv, nämligen vad som erbjuds och vad som erfars i ett innehåll. I det erbjudna lärandeobjektet har lärarnas undervisningshandlingar analyserats som uttryck för de aspekter, delar och helheter som eleverna erbjuds att urskilja samt deras relation till varandra. Det framställda innehållet i läromedlet har analyserats utifrån samma princip, det vill säga genom att identifiera fokuserade aspekter, delar och helheter samt deras relation till varandra. Därefter har analysen fokuserat på att identifiera de variationer som öppnas upp eller begränsas i lärarens och läromedlets framställning av objekten för lärande. På så sätt kunde de aspekter som är möjliga att urskilja utifrån framställningen av lärandeobjekten identifieras och relateras till mönster av variation. Elevernas erfarande har studerats som uttryck för de aspekter, delar och helheter som urskiljs när de löser olika uppgifter samt hur dessa aspekter relateras till varandra. De aspekter som blir urskiljda och sättet på vilket detta görs, har gjort det möjligt att identifiera vilka aspekter som är kritiska för elevernas lärande. Resultaten visar att komplexa dimensioner av variation öppnas upp i det innehåll som eleverna erbjuds. Det förefaller vara vad som här kallas för konvergenta variationer som leder till ett mer fullständigt lärande. Det är denna variation som gör det möjligt för eleverna att göra generaliseringar inom varje objekt för lärande (ekvationer och funktioner) och mellan dessa lärande objekt. Dessa generaliseringar kvarstår, trots att man arbetar med nya lärandeobjekt. Dessutom kan det konstateras att parametrar, den obekanta storheten i en ekvation och funktionens argument är kritiska aspekter i elevens lärande och att meningen med dem ändras flera gånger när lärare presenterar innehållet i klassrummet och när eleverna löser olika uppgifter. Vidare demonstreras att huruvida funktionens argument framträder i explicit eller implicit form kan ha avgörande betydelse för om läraren i sin framställning av lärandeobjekten och elever i sitt erfarande av dem skiljer eller inte skiljer en funktion från en ekvation.