Structural algorithms and perturbations in differential-algebraic equations

Sammanfattning: Den kvasilinjära formen av differential-algebraiska ekvationer är både en mycket allmängiltig generalisering av den linjära tidsinvarianta formen, och en form som visar sig lämpa sig väl för indexreduktionsmetoder som vi hoppas ska komma att bli både praktiskt tillämpbara och väl förstådda i framtiden.Kuperingsalgoritmen (engelska: the shuffle algorithm) användes ursprungligen för att bestämma konsistenta initialvillkor för linjära tidsinvarianta differential-algebraiska ekvationer, men har även andra tillämpningar, till exempel det grundläggande problemet numerisk integration. I syfte att förstå hur kuperingsalgoritmen kan tillämpas på kvasilinjära differential-algebraiska ekvationer som inte låter sig analyseras utifrån mönstret av nollor, har problemet att förstå singulära perturbationer i differential-algebraiska ekvationer uppstått. Den här avhandlingen presenterar en indexreduktionsmetod där behovet framgår tydligt, och visar att algoritmen inte bara generaliserar kuperingsalgoritmen, utan även är ett specialfall av den mer allmänna strukturalgoritmen (engelska: the structure algorithm) för att invertera system av Li och Feng.Ett kapitel av den här avhandlingen söker av en klass av ekvations-former efter former som är mindre generella än den kvasilinjära, men som en algoritm lik vår kan anpassas till. Det visar sig att indexreduktionen ofta förstör strukturella egenskaper hos ekvationerna, och att det därför är naturligt att arbeta med den mest allmänna kvasilinjära formen.Avhandlingen innehåller också några tidiga resultat gällande hur perturbationerna kan hanteras. Huvudresultaten är inspirerade av den modellering i skilda tidskalor som görs i teorin om singulära perturbationer (engelska: singular perturbation theory). Medan teorin om singulära perturbationer betraktar inverkan av en försvinnande skalär i ekvationerna, betraktar analysen häri en okänd matris vars norm begränsas av en liten skalär. Resultaten är begränsade till linjära tidsinvarianta ekvationer av index inte högre än 1, men det är värt att notera att index 0-fallet självt innebär en intressant generalisering av teorin för singulära perturbationer för ordinära differentialekvationer.