Splitting schemes for nonlinear parabolic problems

Sammanfattning: Popular Abstract in Swedish Genom observationer och experiment kan man konstruera modeller för att beskriva otaliga fenomen och aspekter av det universum vi lever i. Den huvudsakliga ingrediensen i en dylik modell är ofta en partiell differentialekvation. Sådana ekvationer kan beskriva så vitt skilda fenomen som t.ex. hur galaxer bildas, hur luftflöden transporteras i atmosfären, hur kemikalier reagerar med varandra, eller hur atomer interagerar på kvantnivå. Ofta används linjära modeller, då de är relativt enkla och har studerats intensivt. I den här avhandlingen intresserar vi oss dock för ickelinjära ekvationer. Eftersom många naturliga fenomen är ickelinjära kan dessa beskriva verkligheten bättre än linjära ekvationer. Att beskriva ett system med en ekvation är en sak, men för att använda modellen till att förutsäga vad som kommer att hända i olika situationer måste den också lösas. De ekvationer som beskriver komplicerade processer likt de ovan nämnda har dock sällan några lösningar som man kan beräkna genom ett ändligt antal matematiska operationer. Istället måste man hitta tillräckligt bra approximationer, uppskattningar, till dessa lösningar. En stor del av numerisk analys handlar om att konstruera, analysera och implementera metoder för att beräkna sådana approximationer. I den här avhandlingen har fokus varit på att analysera, och till viss del implementera, en viss typ av numeriska metoder som kallas splitting-metoder. Idén bakom en splitting-metod är väldigt enkel; dela upp problemet i två eller fler delar och approximera deras lösningar separat. Använd sen dessa delapproximationer för att konstruera en approximation till lösningen av hela problemet. Om delproblemen är enklare att hantera än det ursprungliga problemet (t.ex. om man exakt vet delproblemens lösningar) så kan detta leda till en kraftig minskning av den datorkraft som krävs. Att en numerisk metod är snabb betyder dock inte nödvändigtvis att den är bra, utan man måste fråga sig hur noggranna approximationer den producerar. En central frågeställning är hur approximationsfelet beror av hur mycket arbete man investerar. Om mer datorkraft inte resulterar i en bättre approximation så är metoden inte särskilt bra. Huvudtemat i den här avhandlingen har därför varit att visa så kallade konvergensordningar för splittingmetoder. Detta betyder att man t.ex. kan garantera att en dubblering av arbetsinsatsen resulterar i en halvering av felets storlek. Sådana felanalyser för splittingmetoder har gjorts tidigare i litteraturen, men under antaganden på problemen som i det ickelinjära fallet inte är fullt realistiska eller utesluter intressanta fall. Via det nya tillvägagångssättet som beskrivs i den här avhandlingen kan man dock utföra rigorösa felanalyser även under minimala antaganden. Teorin som presenteras är också applicerbar på många olika klasser av ickelinjära problem. Utöver detta huvudspår så har en del av avhandlingen fokuserat på strukturbevarande numeriska metoder. I t.ex. en kemisk reaktion så kan man självklart inte ha negativa koncentrationer av något ämne. En metod borde därför producera approximationer där alla koncentrationer är positiva. En sådan metod bevarar då strukturen positivitet. I den här avhandlingen har så kallade differentiella Riccati-ekvationer studerats, vilkas lösningar uppvisar vissa strukturer som bör bevaras. Splitting-metoder har tidigare inte tillämpats på denna typ av ekvationer, men våra resultat indikerar att de är mycket väl lämpade för att bevara dessa strukturer. Då de även är effektivare än existerande jämförbara metoder så är de inom detta område mycket lovande metoder.